Proposición 5.1
![$I\!\!\!\!Q[[\mbox{\bf X}]]$](img2010.gif)
tiene una estructura de anillo conmutativo con la suma y el producto convencionales de series.
Más aún, forma un
dominio entero:
Además, los elementos invertibles en
![$I\!\!\!\!Q[[\mbox{\bf X}]]$](img2010.gif)
son aquellos cuyo coeficiente ``independiente'' no es nulo:
Proposición 5.3
La ecuación
![$X=\sum_{k=0}^K a_k(Y)X^k$](img2022.gif)
,
donde cada coeficiente
ak es una forma polinomial en
Y, se resuelve mediante un sistema de ecuaciones recurrentes.
Proposición 5.4 (Lagrange)
Para una ecuación de la forma
X=
Yf(
X)+
c, donde
![$c\in I\!\! R$](img2038.gif)
,
-
es una función analítica, y
- el término ``independiente'' no es nulo,
,
y para una función derivable
![$g:I\!\! R\rightarrow I\!\! R$](img2041.gif)
se tiene que la expresión
g(
X) satisface la ecuación
En particular, para
g(
x)=
x, o sea, para la función identidad, se tiene
![\begin{displaymath}X=c+\sum_{m\geq 1} \frac{1}{m!}\left[\left.\frac{\textstyle d...
...e dx^{m-1}}\left(f(x)^m\right)\right\vert _{x=c}\right] Y^m.
\end{displaymath}](img2043.gif) |
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