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Sintaxis

Recordamos que un cálculo de proposiciones (CProp) se construye a partir de un conjunto finito de variables proposicionales $P=\{p_1,\ldots,p_n\}$, de los valores constantes 0,1 a los que se identifica como falso y verdadero, respectivamente, y de algunos conectivos, entre los cuáles están $\neg,\lor,\land,\rightarrow,\leftrightarrow$ llamados negación, disyunción, conjunción, implicación y equivalencia, respectivamente. Las formas proposicionales son las así llamadas fórmulas bien formadas. Para precisar el concepto de fórmula bien formada asignemos primeramente prioridades a los conectivos:

$\neg$ tiene prioridad 1
$\lor,\land$ tienen prioridad 2
$\rightarrow,\leftrightarrow$ tienen prioridad 2

En el manejo de prioridades, la convención es usual: ``Menores valores numéricos corresponden a prioridades mayores y, con prioridades iguales, se aplican primero los conectivos más a la izquierda''. El conjunto FP de formas proposicionales se define inductivamente, y al mismo tiempo se define la noción de conectivo principal de FP's. En el recuadro (10) presentamos estas definiciones precisas.

  
Table 10: Definición de formas proposicionales.
\begin{table}\begin{center}\fbox{ \begin{minipage}[t]{35em} \begin{enumerate}
\i...
...}\end{displaymath}\space \end{enumerate} \end{minipage}}\end{center}
\end{table}




Por ejemplo, consideremos el acertijo siguiente:

Ha ocurrido un cuantioso robo en una tienda. Los asaltantes transportaron su botín en una camioneta. Posteriormente se atrapa a tres maleantes sospechosos A, B y C. Las pesquisas muestran evidencias de que A siempre se acompaña de B o de C para sus fechorías, C por su lado nunca actuaría solo, pero también A no se acompañaría de C en un atraco. El atraco sólo pudo haber sido cometido por A, B o C y al menos uno de ellos es culpable.

Hay que decidir las culpabilidades de ellos.

Consideremos tres variables proposicionales para codificar correspondientes hipótesis:

\begin{eqnarray*}p_A &:& \mbox{\it$A$\space es
culpable,} \\ p_B &:& \mbox{\it$B$\space es culpable,} \\ p_C &:& \mbox{\it$C$\space es
culpable.} %
\end{eqnarray*}


Los ``hechos'' siguientes pueden representarse por correspondientes formas proposicionales:
1.
Si A fuese culpable y B inocente, entonces C ha de ser culpable: $p_A\land \neg p_b \rightarrow p_C$.
2.
C nunca actuaría solo: $p_C \rightarrow p_A\lor p_B$.
3.
A nunca actuaría con C: $\neg (p_A\land p_C)$.
4.
Nadie más que A, B o C pudieron haber actuado y al menos uno de ellos es culpable: $p_A\lor p_B\lor p_C$.
De acuerdo con el acertijo, si los cuatro hechos anteriores fuesen verdaderos, ¿qué podría decirse acerca de las culpabilidades de A, B y C? Y si acaso se tuviese una evidencia de que cada uno de esos hechos es verdadero con una cierta probabilidad, ¿qué podría decirse acerca de las probabilidades de que A, B y C sean culpables?

El acertijo se formaliza naturalmente en un cálculo proposicional con tres variables. En lo que sigue, trataremos el acertijo con las respectivas propagaciones de valores que introduzcamos.


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Guillermo Morales-Luna
2000-03-14