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Desdifusificar

La operación de desdifusificar, u operación-DF para abreviar, consiste en seleccionar un elemento representativo de un conjunto difuso. Con esta operación ``se suprime lo difuso'' porque habiendo estimado propiedades de un conjunto difuso, se elige a un objeto ``concreto'' que lo representa. Para esto, existen diversos criterios.


Primer máximo Tómese como representante de un conjunto difuso al primer elemento $x_A$ en el universo $X$, de acuerdo con un orden dado, tal que $A(x_A)=\max\{A(x)\vert x\in X\}$. Este criterio conlleva la dificultad de calcular un valor máximo de una función real, precisamente $A$, definida sobre $X$.


Corte-$a$ Dado un conjunto difuso $A$ en un universo $X$, sea $a\in]0,1[$ un número real positivo, pero estrictamente menor que 1. Diremos que el número $a$ es el umbral de corte. Elíjase un elemento $x_0\in A_a$ en el corte-$a$ de $A$.


Centroide Dado un conjunto difuso $A$ en un universo $X$, sea ${\displaystyle m_1(A)=\sum_{x\in X} A(x) p_A(x)}$ su centroide. Elíjase al elemento $x_0\in X$ tal que

$$\left\vert A(x_0)-m_1(A)\right\vert=\min\{\vert A(x)-m_1(A)\vert\; \vert x\in X\}$$

es decir, $x_0$ es uno de los elementos en el universo $X$ cuyo grado de pertenencia a $A$ es el más cercano al valor esperado de los valores de $A$.


Por ejemplo, con este criterio, cualquiera de los contribuyentes Azcárraga, Cárdenas, De la Madrid, Fox o Iglesias, desdifusifica al conjunto de ``mayores'', y sólo Azcárraga desdifusifica al de ``gigantes''.


De manera más general, para $k\geq 1$, se puede elegir al elemento $x_0\in X$ tal que

$$\left\vert A(x_0)^k-m_k(A)\right\vert=\min\{\vert A(x)^k-m_k(A)\vert\; \vert x\in X\}$$

es decir, $x_0$ es uno de los elementos cuyo grado de pertenencia a $A$ tiene una $k$-ésima potencia más cercana al $k$-ésimo momento ${\displaystyle m_k(A)=\sum_{x\in X} A(x)^k p_A(x)}$ de $A$.


Centro de gravedad Supongamos por ahora que el universo $X$ posee una estructura geométrica de espacio vectorial. Dados dos vectores $x_1,x_2\in X$ se tiene definida su suma, $x_1+x_2$, y para cada número real $t$ se tiene también la elongación $t x_1$ del vector $x_1$ por el escalar $t$. Para fijar ideas, el lector puede suponer que $X$ es el espacio tridimensional $X={\mathbb{R}}^3={\mathbb{R}}\times {\mathbb{R}}\times {\mathbb{R}}$. Dado un conjunto $X'=\{x_1,\ldots,x_n\}$ de $n$ puntos en $X$, y dados $n$ coeficientes $a_1,\ldots,a_n\in[0,1]$ tales que $\sum_{i=1}^n a_i=1$, el vector $\sum_{i=1}^n a_i x_i$ se dice ser una suma convexa de los elementos de $X'$ y está precisamente en el poliedro mínimo que contiene a $X'$. Recíprocamente, se tiene que dado cualquier punto $x$ en ese poliedro mínimo han de existir coeficientes $a_1,\ldots,a_n\in[0,1]$ tales que $\sum_{i=1}^n a_i=1$ y $x=\sum_{i=1}^n a_i x_i$. Por esta razón a ese poliedro mínimo se le llama la cerradura convexa de $X'$. Un conjunto difuso $A$ en $X$ se dice ser convexo si para cualesquiera $n$ puntos $x_1,\ldots,x_n\in X$ y cualesquiera $n$ coeficientes $a_1,\ldots,a_n\in[0,1]$ tales que $\sum_{i=1}^n a_i=1$, se tiene

$$A\left(\sum_{i=1}^n a_i x_i\right)\geq \sum_{i=1}^n a_i A(x_i).$$

Sea $a\in[0,1]$. Recordamos que el corte-$a$ cerrado $A^a$ de $A$ consta de todos los puntos cuyo grado de pertenencia a $A$ no es inferior al valor $a$. El centro de gravedad de altura $a$ de $A$ es

$$\begin{eqnarray*} C(A,a) &=& \frac{1}{T(A^a)}\sum_{x\in A^a} A(x) x \mbox{\rm s... ...} A(x) x\, dx\mbox{\rm si $X$\ es un espacio de integraci\'on.} \end{eqnarray*}$$

El centro de gravedad $C(A,a)$ es pues el promedio de los elementos en el corte-$a$ de $A$. El centro de gravedad básico es el centro de gravedad de altura 0. El centro de gravedad máximo es el centro de gravedad de altura $\max\{A(x)\vert x\in X\}$. En el caso de que $A$ sea un conjunto convexo, cualquiera de los centros básico o máximo puede ser un buen representante del conjunto difuso $A$. Sin embargo, si $A$ no es convexo, la selección por centros puede ser muy desafortunada. Por ejemplo, si $A$ fuese un conjunto usual, entonces se podría elegir a un elemento fuera de $A$ con este criterio.


Ejemplo. Sea $X=[0,1]$ y sea $A_p$ el conjunto difuso $x\mapsto x^p$, con $p>0$. Para $p=2$ la gráfica de $A_p$ es una parábola. Para $p=\frac{1}{2}$, coincide con la gráfica de la raíz cuadrada según se muestra en la figura 4.4. Si $p\leq 1$, el conjunto $A_p$ es convexo. Dado $a\in]0,1[$ se tiene: $\left(x^p\geq a\Leftrightarrow x\geq a^{\frac{1}{p}}\right)$. Por tanto, el corte-$a$ cerrado es $\left(A_p\right)^a=[a^{\frac{1}{p}},1]$. Así pues, el tamaño de este corte-$a$ es $T\left(\left(A_p\right)^a\right)=1-a^{\frac{1}{p}}$ y, un cálculo directo muestra que

$$\int_{a^{\frac{1}{p}}}^1 x^p x\,dx=\frac{1}{2+p}\left[1-\left(a^{\frac{1}{p}}\right)^{2+p}\right].$$

El centro de gravedad es pues

$$C(A_p,a)=\frac{1}{2+p}\frac{1-\left(a^{\frac{1}{p}}\right)^{2+p}}{1-a^{\frac{1}{p}}}.$$ (4)

que, en términos de $a$ y $p$ define una función cuya gráfica se muestra en la figura 4.6.

Figure: El centro de gravedad $C:(a,p)\mapsto C(a,p)$, en términos de la altura $a$, con $0\leq a\leq 1$, y del exponente $p$, con $0\leq p\leq 2$.

Para $p\leq 1$, el conjunto $A_p$ es convexo. Por lo cual, el grado de pertenencia del centro no será inferior al promedio de los grados de pertenencia. En este caso, de la ec. (4) se ve que cuando $p\searrow 0$, es decir, cuando $p$ decrece hacia cero, entonces independientemente del umbral $a\in]0,1[$ el centro tenderá a ser $\frac{1}{2}$, es decir, el centro de gravedad tenderá a ser el punto medio del universo. Véase esto en la figura 4.7 (a), donde se ve la gráfica de centros de gravedad, rotada de manera que en un primer plano aparezca el correspondiente a $p=0$, y la escala de valores de la altura $a$.

Figure 4.7: (a) Vista de la función de centros de gravedad desde el plano $p=0$. (b) Vista de la función de centros de gravedad desde el plano $a=0$.

Para $p> 1$, el conjunto $A_p$ no es convexo. En particular, si $p$ fuese un entero, de la ec. (4) resulta

$$C(A_p,a)=\frac{1}{2+p}\sum_{i=0}^{1+p}a^{\frac{i}{p}}.$$ (5)

de donde se ve que el centro básico es $C(A_p,0)=\frac{1}{2+p}$. Este valor, a todas luces, es más bien bajo pues se está considerando en el promedio a muchos valores que son pequeños. En el otro extremo, el centro máximo es $C(A_p,1)=1$, como era de esperarse. Estos dos aspectos quedan mostrados en la figura 4.7 (b). En un primer plano aparece el caso de $a=0$ y al fondo el de $a=1$. Así pues, para conjuntos no-convexos, en tanto es mayor el umbral, será mejor la selección del centro de gravedad.
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