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Semánticas basadas en conjunción e implicación

Como una observación complementaria a la Observación 4.2.3 tenemos que el conjunto de operadores $\{\cap,\mbox{\it .imp.}\}$ es también completo. En efecto, el complemento puede obtenerse haciendo $\overline{A}=(A\mbox{\it .imp.}
\emptyset)$. Así que, alternativamente, si se define un operador correspondiente a $\mbox{\it .imp.}$, junto con un conjuntor, se puede definir operadores correspondientes a los demás conectivos. Sea pues $\diamond:[0,1]^2\rightarrow[0,1]$ un operador conjuntor. Definamos $\mbox{\it Imp}:[0,1]^2\rightarrow[0,1]$ como $\mbox{\it Imp}(x,y)=\max\{z\in[0,1]\vert z\diamond x\leq y\}$. Es decir,
\begin{displaymath}\forall z\in[0,1]:\ \ z\leq\mbox{\it Imp}(x,y)\
\Leftrightarrow\ z\diamond x\leq y.
\end{displaymath} (6)

$\mbox{\it Imp}$ se dice ser el residuo del operador conjuntor $\diamond$. Los valores de verdad de los conectivos podrían ser, en una primera instancia, los siguientes:
$\displaystyle v(\neg \phi)$ $\textstyle =$ $\displaystyle \mbox{\it Imp}(v(\phi),0)$ (7)
$\displaystyle v(\phi_1\land \phi_2)$ $\textstyle =$ $\displaystyle v(\phi_1)\diamond v(\phi_2)$  
$\displaystyle v(\phi_1\lor \phi_2)$ $\textstyle =$ $\displaystyle \mbox{\it Imp}(\mbox{\it Imp}(v(\phi_1),0),v(\phi_2))$ (8)
$\displaystyle v(\phi_1\rightarrow \phi_2)$ $\textstyle =$ $\displaystyle \mbox{\it Imp}(v(\phi_1),v(\phi_2))$  
$\displaystyle v(\phi_1\leftrightarrow \phi_2)$ $\textstyle =$ $\displaystyle \mbox{\it Imp}(v(\phi_1),v(\phi_2))\diamond \mbox{\it Imp}(v(\phi_2),v(\phi_1))$  

Sin embargo estas últimas definiciones son inadecuadas pues harían que la disyunción no fuera conmutativa. Para ver que, en efecto, esto ocurre, formulemos primeramente la siguiente:

Observación 3.1   Sea $\diamond:[0,1]^2\rightarrow[0,1]$ un operador conjuntor tal que ``no tenga divisores de cero'', es decir,
\begin{displaymath}\forall
x,y\in[0,1]:\ \ (x\not=0)\&(y\not=0)\ \Rightarrow\ x\diamond
y\not=0.
\end{displaymath} (9)

Sea $\mbox{\it Imp}:[0,1]^2\rightarrow[0,1]$ definida como en la ecuación (6) arriba. Entonces:
  1. $\forall x,y\in[0,1]:\ \ (x>y)\ \Rightarrow\ \mbox{\it Imp}(x,y)<1$.
  2. $\forall x,y\in[0,1]:\ \ (x\leq y)\ \Rightarrow\ \mbox{\it Imp}(x,y)=1$.
  3. $\forall y\in[0,1]:\ \ \mbox{\it Imp}(0,y)=1$.
  4. $\forall x\in[0,1]:\ \
(x\not= 0)\ \Rightarrow\ \mbox{\it Imp}(x,0)=0$.
  5. $\forall y\in[0,1]:\ \
\mbox{\it Imp}(1,y)=y$.
  6. $\forall x\in[0,1]:\ \ \mbox{\it Imp}(x,1)=1$.
Consecuentemente, la negación $x\mapsto\mbox{\it Imp}(x,0)$, definida como en la ecuación (7) arriba, coincide con $N_{\infty}: x\mapsto
\left\{\begin{array}{ll}
1 &\mbox{\rm si $x=0$\ } \\
0 &\mbox{\rm si $x>0$\ }
\end{array}\right.$

Omitiremos la demostración y nos permitimos encargársela al lector como un ejercicio.


Así pues, de acuerdo con la ecuación (8) arriba:

\begin{eqnarray*}v(\phi_1)=0 &\Rightarrow& \mbox{\it Imp}(v(\phi_1),0)=1 \\
&...
...htarrow& v(\phi_1\lor \phi_2) = \mbox{\it Imp}(0,v(\phi_2)) =
1 \end{eqnarray*}



es decir, $v(\phi_1\lor \phi_2) = \left\{\begin{array}{ll}
v(\phi_2) &\mbox{\rm si
$v(\phi_1)=0$\ } \\
1 &\mbox{\rm si $v(\phi_1)>0$\ }
\end{array}\right.$ En consecuencia, la disyunción puede no ser conmutativa. Es menester pues introducir de alguna otra forma a los conectivos. Dado un operador conjuntor que ``no tenga saltos'' es posible reconstruir a los operadores Máximo y Mínimo. La demostración es puramente técnica (consiste de hecho en la comprobación de algunas desigualdades) y por eso la omitimos:

Observación 3.2   Sea $\diamond:[0,1]^2\rightarrow[0,1]$ un operador conjuntor contínuo. Entonces:
  1. $\forall x,y\in[0,1]:\ \
\min\{x,y\}=x\diamond\mbox{\it Imp}(x,y)$.
  2. $\forall x,y\in[0,1]:\ \
\max\{x,y\}=\min\{ \mbox{\it Imp}(\mbox{\it Imp}(x,y),y) ,
\mbox{\it Imp}(\mbox{\it Imp}(y,x),x) \}$.

Asociemos el operador conjuntor a un conectivo ``conjunción fuerte'' y definamos a los demás, incluído uno ``disyunción fuerte'', como sigue:

\begin{eqnarray*}
v(\neg \phi) &=& \mbox{\it Imp}(v(\phi),0) \\
v(\phi_1\& ...
...\phi_1),v(\phi_2))\diamond \mbox{\it Imp}(v(\phi_2),v(\phi_1))
\end{eqnarray*}



En tal caso, tendremos las equivalencias lógicas:

\begin{eqnarray*}\phi_1\land \phi_2 &\equiv& \phi_1\&(\phi_1\rightarrow
\phi_2)...
...\equiv& (\phi_1\rightarrow \phi_2)\& (\phi_2\rightarrow \phi_1)
\end{eqnarray*}



Así pues, utilizando un operador conjuntor (contínuo) es posible construir un cálculo proposicional difuso. Veamos algunos ejemplos de este tipo de construcción:
Gödel.
Consideremos el operador conjuntor $x\diamond y=\min\{x,y\}$. Para cualesquiera dos números $x,y\in [0,1]$ se tiene, $\forall z\in [0,1]$:

\begin{displaymath}z\diamond x\leq y \ \Leftrightarrow \
\left\{\begin{array}{l...
...leq z &\Rightarrow& x\leq y \hspace{2cm} (2) \end{array}\right.\end{displaymath}

Observamos que si $x\leq y$, la implicación (1) se cumple para cualquier $z$, y la implicación (2) se cumple porque su consecuente es verdadero. En tanto que si $x>y$, la implicación (1) se cumple para cualquier $z\leq y$, y también para tales $z$ se cumplirá la implicación (2), pues tanto su antecedente como su consecuente serán falsos. Consecuentemente, $\mbox{\it Imp}(x,y)=\left\{\begin{array}{ll}
1 &\mbox{\rm si $x\leq y$\ } \\
y &\mbox{\rm si $x>y$\ }
\end{array}\right.$ Los valores de verdad de los conectivos quedan entonces definidos como en el recuadro (4.11),

Table 4.11: Conectivos resultantes del conjuntor de Gödel.
\begin{table}
\begin{center}\fbox{\begin{minipage}[t]{25em} \begin{eqnarray*}
...
...i_2) \end{array}\right.
\end{eqnarray*} \end{minipage}}\end{center} \end{table}


y sus gráficas pueden ser vistas en la figura 4.18.
Figure 4.18: Operadores composicionales de Gödel.
\begin{figure*}
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{1cm}
\begin{tabular}{c...
...& Equivalencia %%\vspace{3ex} \\
\end{tabular}
\end{center}
\end{figure*}
Producto-F.
Consideremos el operador conjuntor $x\diamond y=xy$. Para cualesquiera dos números $x,y\in [0,1]$ se tiene, $\forall z\in [0,1]$:

\begin{displaymath}z\diamond
x\leq y \ \Leftrightarrow \ (x=0) \lor\left(x\not=0\Rightarrow z\leq
\frac{y}{x}\right)\end{displaymath}

Consecuentemente, $\mbox{\it Imp}(x,y)=\left\{\begin{array}{ll}
1 &\mbox{\rm si $x=0$
o $x\leq y$\ } \\
\frac{y}{x} &\mbox{\rm en otro caso }
\end{array}\right.$ Los valores de verdad de los conectivos quedan entonces definidos como en el recuadro (4.12),

Table 4.12: Conectivos resultantes del conjuntor producto.
\begin{table}
\begin{center}\fbox{\begin{minipage}[t]{25em} \begin{eqnarray*}
...
...i_2) \end{array}\right.
\end{eqnarray*} \end{minipage}}\end{center} \end{table}


y sus gráficas pueden ser vistas en la figura 4.19.
Figure 4.19: Operadores composicionales de Producto-F.
\begin{figure*}
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{1cm}
\begin{tabular}{c...
...& Equivalencia %%\vspace{3ex} \\
\end{tabular}
\end{center}
\end{figure*}
\Lukasiewicz.
Consideremos el operador conjuntor $x\diamond y=\max\{x+y-1,0\}$. Observemos que este operador no satisface la relación (9), es decir, en este operador sí hay divisores de cero. Para cualesquiera dos números $x,y\in [0,1]$ se tiene, $\forall z\in [0,1]$:

\begin{displaymath}z\diamond x\leq y \ \Leftrightarrow \ 1-x\leq z\leq y+1-x\end{displaymath}

Consecuentemente, $\mbox{\it Imp}(x,y)=\min\{1+y-x,1\}$. Los valores de verdad de los conectivos quedan entonces definidos como en el recuadro (4.13),

Table: Conectivos resultantes del conjuntor de ukasiewicz.
\begin{table}
\begin{center}\fbox{\begin{minipage}[t]{25em} \begin{eqnarray*}
...
...hi_2) \end{array}\right. \end{eqnarray*}
\end{minipage}}\end{center} \end{table}


y sus gráficas pueden ser vistas en la figura 4.20.
Figure: Operadores composicionales de ukasiewicz-F.
\begin{figure*}
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{1cm}
\begin{tabular}{c...
...& Equivalencia %%\vspace{3ex} \\
\end{tabular}
\end{center}
\end{figure*}

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Guillermo Morales-Luna
2004-07-28