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Sea
el espacio real de tres dimensiones.
Dados
y
, la recta algebraica que pasa por
y tiene VECTOR DIRECTOR
es el conjunto
Naturalmente, vale la equivalencia:
![\begin{displaymath}
R(\vec{\mbox{\bf x}}_1,\vec{\mbox{\bf d}}_1)=R(\vec{\mbox{\...
...{\bf d}}_1\ \&\ \vec{\mbox{\bf d}}_1=k_2\vec{\mbox{\bf d}}_2
\end{displaymath}](img467.png) |
(5) |
en otras palabras, dos rectas coinciden si el segmento que une a los puntos por donde pasan y los dos vectores directores son todos paralelos. Como criterio de pertenencia de un punto a una recta se tiene:
Dados
y
, el plano algebraico que pasa por
y tiene VECTOR NORMAL
es el conjunto
donde
es el producto ``interno'', o ``punto'', usual.
Naturalmente, vale la equivalencia:
![\begin{displaymath}
P(\vec{\mbox{\bf x}}_1,\vec{\mbox{\bf n}}_1)=P(\vec{\mbox{\...
...rangle = 0\ \&\ \vec{\mbox{\bf n}}_1=k_2\vec{\mbox{\bf n}}_2
\end{displaymath}](img477.png) |
(7) |
en otras palabras, dos planos coinciden si los dos vectores normales son paralelos y el segmento que une a los puntos por donde pasan es ortogonal a ellos. Como criterio de pertenencia de un punto a un plano se tiene:
![\begin{displaymath}
\vec{\mbox{\bf x}}\in P(\vec{\mbox{\bf x}}_0,\vec{\mbox{\bf n}})\ \ \Leftrightarrow\ \ ax+by+cz=d
\end{displaymath}](img478.png) |
(8) |
donde
y
.
Al conjunto de rectas algebraicas lo reducimos mediante la relación de equivalencia dada por (5), y a cada clase de equivalencia la llamamos RECTA GEOMÉTRICA. Similarmente, al conjunto de planos algebraicos lo reducimos mediante la relación de equivalencia dada por (7), y a cada clase de equivalencia la llamamos PLANO GEOMÉTRICO. Evidentemente, los criterios de pertenencia dados por (6) y (8) son congruentes con (5) y (7) respectivamente.
La colección de puntos, rectas geométricas y planos geométricos constituyen naturalmente una
-estructura en donde se cumplen todos los axiomas de Hilbert. Esta estructura se dice ser EUCLIDIANA.
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Guillermo Morales-Luna
2004-07-27