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Sea
una curva en una
-variedad
y sea
una parametrización de
. Sea
un sistema de coordenadas en un mapa en
que contenga a la curva
. Entonces
es una curva en
.
Sea
una función diferenciable. Esta función puede identificarse con
, tal que
.
es de transporte paralelo a
si sus curvas de nivel son paralelas a
. Es decir, si ocurre que
. Así pues, se ha de tener
:
donde
.
La derivada covariante se define como el operador:
En particular si
es un
-tensor,
es de transporte paralelo si
![\begin{displaymath}
\forall{\bf j}\in[\![0,n-1]\!]^{k},{\bf i}\in[\![0,n-1]\!]^{...
...mma_{i_{\ell}})\,\nabla_{i_{\ell}}T\right)_{{\bf j};{\bf i}}.
\end{displaymath}](img486.png) |
(8.1) |
Si
es un vector, la ecuación de transporte paralelo (8.1) queda, atendiendo (7.5):
y por tanto
![\begin{displaymath}
\forall j\in[\![0,n-1]\!]:\ D_{\Gamma}(u_j)\, + \sum_{k=0}^{n-1} u_k \sum_{i=0}^{n-1}c_{k,ij}D_{\Gamma}(\gamma_i) = 0.
\end{displaymath}](img488.png) |
(8.2) |
Ahora, supongamos que la curva
sea compatible con el tensor de métrica
, es decir
Entonces, si
y
son dos vectores de transporte paralelo según
, se tiene
o sea, el producto escalar
(y cualquier otra noción geométrica asociada a él) es de transporte paralelo a
.
Supongamos ahora que
es un campo de vectores que satisfagan la ecuación de transporte paralelo (8.2). Supongamos asímismo que fijo
existe un campo de matrices
tal que
![\begin{displaymath}
\forall t\in\mathbb{R}:\ \ {\bf u}(t) = P_{t_0}(t)\,{\bf u}(t_0)
\end{displaymath}](img496.png) |
(8.3) |
por lo que el campo
se llama propagador de paralelismo. Observando (8.2) definamos
Entonces (8.2) se replantea como
O sea
![\begin{displaymath}
D_{\Gamma}(P_{t_0})(t) = A(t)\,P_{t_0}(t),
\end{displaymath}](img500.png) |
(8.4) |
la cual se conoce como ecuación de Dyson y es similar a la de onda de Schrödinger. Equivalentemente
![\begin{displaymath}
P_{t_0}(t) = \mbox{Id}_n + \int_{t_0}^tA(\tau)\,P_{t_0}(\tau)\,d\tau.
\end{displaymath}](img501.png) |
(8.5) |
La ecuación integral (8.5) tiene solución de la forma
![\begin{displaymath}
P_{t_0}(t) = B(t)\,\mbox{exp}\left(\int_{t_0}^tA(t)\,d\tau\right).
\end{displaymath}](img502.png) |
(8.6) |
Así pues, (8.3) y (8.6) dan un vector de transporte paralelo a
.
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Guillermo M. Luna
2011-01-03