Algebras tensorial y exterior

Sea $R$ un anillo y sea $M$ un $R$ -módulo. Se define $M^{\otimes 0} = R$ y $M^{\otimes (n+1)} = M^{\otimes n}\otimes_R M$ .

El álgebra tensorial del $R$ -módulo $M$ es $T(M) = \bigoplus_{n\geq 0}M^{\otimes n}$ , la cual tiene una estructura natural de $R$ -álgebra.

Sea $\land(M)$ el cociente de $T(M)$ entre el ideal (bilateral) generado por los elementos de la forma $x\otimes x$ , con $x\in M$ . Se tiene que $\land(M) = \bigoplus_{n\geq 0}\land^nM$ donde $\land^nM$ consta de las imágenes de elementos $x_0\otimes\cdots\otimes x_{n-1}$ con $x_i\in M$ . A una tal imagen se la escribe $x_0\land\cdots\land x_{n-1}$ . Necesariamente, $x_0\land\cdots\land x_{n-1}=0$ cuando y sólo cuando exista un par de índices distintos $i,j\in[\![0,n-1]\!]$ tal que $x_i=x_j$ . Se sigue que para cualquier permutación $\sigma\in S_n$ en el grupo simétrico de $n$ índices:

$$x_{\sigma(0)}\land\cdots\land x_{\sigma(n-1)} =$$   Sgn$$(\sigma) x_0\land\cdots\land x_{n-1.}$$

$\land(M)$ tiene asímismo una estructura de $R$ -álgebra y se llama álgebra exterior del $R$ -módulo $M$ .