Sea
un campo y sea
un espacio vectorial sobre
. Sea
L
la clase de automorfismos lineales en
,
GL
L
la de los invertibles, y
SL
GL
la de los que tienen determinante 1. Cuando el campo es el de los complejos,
,
U
es el grupo de automorfismos lineales hermitianos, y
SU
U
el de aquellos con determinante 1.
En
se define la relación:
Se tiene entonces
cuando y sólo cuando la matriz
es de rango a lo sumo 1.
El espacio proyectivo es el cociente
.
Cuando
, entonces
es el espacio proyectivo de dimensión
sobre el campo
.
Sea
una matriz de orden
con entradas en
. Dada una colección
de
variables formales, la colección de monomios de Laurent determinada por
es
El conjunto afín parametrizado por
es
, pero, de hecho, debido a la homogeneidad de los polinomios de Laurent, el conjunto parametrizado puede considerarse como un subconjunto del espacio proyectivo de dimensión
,
.
Un conjunto tórico algebraico es un conjunto
tal que existe una matriz
para la cual
.
Para cada
sea
la colección de polinomios homogéneos de grado
. Entonces
es una graduación del anillo
.
Sea
el ideal generado por los polinomios homogéneos que se anulan en
, llamado ideal anulador de
.
Se verá algunas propiedades estructurales del ideal
.
Recordamos que en un anillo
, para un ideal
, su radical es
rad
, que en sí es un ideal, y el ideal
es radical si
rad
.
Pues bien, puede verse que
es un ideal radical.