Posterior: Asignaciones Arriba: Semántica Anterior: Semántica

Valores de verdad

Sean $\mbox{\rm Dos}=\{0,1\}$ y $\mbox{\rm Tres}=\{0,a,1\}$, donde $0<a<1$, los conjuntos formados por los dos y los tres elementos que se enlistan respectivamente. Naturalmente, $\mbox{\rm Dos}\subset\mbox{\rm Tres}$. Asociaremos a cada uno de los elementos de Tres con los valores de verdad siguientes:

$$\begin{array}{rcl} 1 &\leftrightarrow& \mbox{\it Verdadero} ... ...usente} \\ 0 &\leftrightarrow& \mbox{\it Falso} \end{array}$$

Alternativamente, a $\mbox{\rm Dos}$ se le puede pensar como el campo ${\mathbb{Z}}_2=\{0,1\}$ que resulta de identificar en el conjunto de los enteros ${\mathbb{Z}}$ a aquellos elementos que tengan la misma paridad: ${\mathbb{Z}}_2=({\mathbb{Z}}/\sim_2)$, donde $x \sim_2 y \Leftrightarrow x\equiv y\mbox{\rm mod }2$. Las operaciones de ${\mathbb{Z}}_2$ quedan definidas como sigue:

$$\begin{array}{cc} \begin{array}{c\vert cc} + & 0 & 1 \\ \... ...\hline 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{array} \end{array}$$ (1)

Para cada $n\geq 1$, se tiene que $\mbox{\rm Dos}^n\subset\mbox{\rm Tres}^n$. De hecho $\mbox{\rm Dos}^n$ es el conjunto de ``vértices'' en $\mbox{\rm Tres}^n$. $\mbox{\rm Dos}^n$ se puede ver también como el espacio vectorial de dimensión $n$ sobre el campo ${\mathbb{Z}}_2$. Evidentemente, $\mbox{\rm Dos}^n$ posee $2^n$ elementos y $\mbox{\rm Tres}^n$ posee $3^n$ elementos. Si $I\subset [\![1,n]\!]$ es un conjunto de $k$ índices, con $k\in [\![1,n]\!]$, hagamos

$$P_i=\left\{\begin{array}{ll} {\mathbb{Z}}_2 &\mbox{\rm si $i... ... } \\ \{0\} &\mbox{\rm si $i\not\in I$ } \end{array}\right.$$

Al producto cartesiano $C_I=\prod_{i=1}^n P_i$ lo llamaremos EL CUBO CON ENTRADAS VARIABLES EN , FIJO EN EL ORIGEN. Hablando con más propiedad, $C_I$ es el subespacio vectorial de $\mbox{\rm Dos}^n$, producto de los subespacios $P_i$ de ${\mathbb{Z}}_2$. Es claro que $C_I$ es un espacio vectorial sobre ${\mathbb{Z}}_2$ de dimensión $k$. Introduzcamos unos conceptos relativos a la ``geometría'' de $\mbox{\rm Tres}^n$ que utilizaremos posteriormente. Para cada $\mbox{\boldmath$\epsilon$}\in\mbox{\rm Tres}^n$,

• sea $I(\mbox{\boldmath$\epsilon$})=\mbox{\boldmath$\epsilon$}^{-1}(a)=\{i\in [\![1,n]\!]\vert\epsilon_i=a\}$, el conjunto de índices en los que $\mbox{\boldmath$\epsilon$}$ tiene coordenadas con valor $a$, sea $C_{\mbox{\boldmath$\epsilon$}} = C_{I(\mbox{\boldmath$\epsilon$})}$ el cubo con entradas variables en $I(\mbox{\boldmath$\epsilon$})$, fijo en el origen, y sea $\mbox{\boldmath$\epsilon$}'=(\epsilon_i')_{i=1}^n$, donde
  
  $$\epsilon_i'=\left\{\begin{array}{ll} \epsilon_i &\mbox{\rm s... ...a$ } \\ 0 &\mbox{\rm si $\epsilon_i=a$ } \end{array}\right.$$
  
  
  el vector que coincide con $\mbox{\boldmath$\epsilon$}$ salvo que tiene el valor 0 en aquellas coordenadas en las que $\mbox{\boldmath$\epsilon$}$ tiene el valor $a$,
• el CUBO que determina $\mbox{\boldmath$\epsilon$}$ es
  
  $$\mbox{\rm Cubo}(\mbox{\boldmath $\epsilon$})=\{\mbox{\boldmat... ...\forall j: (\epsilon_j\not=a\Rightarrow\delta_j=\epsilon_j)\}.$$
  
  
  En otras palabras, cada 1 en una coordenada de $\mbox{\boldmath$\epsilon$}$ impone el valor verdadero, en esa coordenada, a todos los puntos de $\mbox{\rm Cubo}(\mbox{\boldmath$\epsilon$})$, cada 0 impone el valor falso y en cada $a$ no hay restricción alguna. En otras palabras, $\mbox{\rm Cubo}(\mbox{\boldmath$\epsilon$}) = C_{\mbox{\boldmath$\epsilon$}} + \mbox{\boldmath$\epsilon$}'$ es el hiperplano que coincide con la translación del subespacio $C_{\mbox{\boldmath$\epsilon$}}$ al vector $\mbox{\boldmath$\epsilon$}'$,
• el VECTOR COMPLEMENTARIO de $\mbox{\boldmath$\epsilon$}$ es $\overline{\mbox{\boldmath$\epsilon$}}$ donde
  
  $$\forall j=1,\ldots,n:\:\overline{\epsilon}_j=\left\{\begin{ar... ...lon_j=a \\ 1 &\mbox{\rm si }\epsilon_j=0 \end{array}\right.$$
  
  
  Es decir, el vector complementario de $\mbox{\boldmath$\epsilon$}$ es el vector obtenido de $\mbox{\boldmath$\epsilon$}$ al intercambiar los valores 1 y 0 solamente.

Observación 1.1   La dimensión de $\mbox{\rm Cubo}(\mbox{\boldmath$\epsilon$})$ es el número de entradas con el valor $a$ en $\mbox{\boldmath$\epsilon$}$.

Dados $\mbox{\boldmath$\delta$}\in\mbox{\rm Dos}^n$ y $\mbox{\boldmath$\epsilon$}\in\mbox{\rm Tres}^n$ vamos a decir que $\mbox{\boldmath$\delta$}$ empata con $\mbox{\boldmath$\epsilon$}$, y escribiremos $\mbox{\boldmath$\epsilon$}\preceq\mbox{\boldmath$\delta$}$, si $\mbox{\boldmath$\delta$}\in\mbox{\rm Cubo}(\mbox{\boldmath$\epsilon$})$.

Observación 1.2   Las siguientes aseveraciones son equivalentes a pares:

• $\mbox{\boldmath$\delta$}$ empata con $\mbox{\boldmath$\epsilon$}$.
• $\forall j\in[\![1,n]\!]:(\epsilon_j\not=a \Rightarrow \delta_j=\epsilon_j).$
• $\forall j\in[\![1,n]\!]:(\epsilon_j=1\Rightarrow\delta_j=1)\land(\epsilon_j=0 \Rightarrow\delta_j=0).$

Ejemplo: Si $\mbox{\boldmath$\delta$}=(1,1,\ldots,1)$ entonces toda $\mbox{\boldmath$\epsilon$}\in\mbox{\rm Tres}^n$ tal que $\mbox{\boldmath$\epsilon$}\preceq\mbox{\boldmath$\delta$}$ ha de tener valores 1 en todas las coordenadas donde no haya valores $a$. Similarmente, si $\mbox{\boldmath$\delta$}=(0,0,\ldots,0)$ entonces toda $\mbox{\boldmath$\epsilon$}\in\mbox{\rm Tres}^n$ tal que $\mbox{\boldmath$\epsilon$}\preceq\mbox{\boldmath$\delta$}$ ha de tener valores 0 en todas las coordenadas donde no haya valores $a$. $\quad\Box$

Observación 1.3   Los siguientes enunciados son verdaderos:

1. Si $\mbox{\boldmath$\epsilon$}\in\mbox{\rm Tres}^n$ posee $k$ valores $a$ entonces hay $2^k$ vectores en $\mbox{\rm Dos}^n$ que empatan con $\mbox{\boldmath$\epsilon$}$.
2. Para cada $\mbox{\boldmath$\delta$}\in\mbox{\rm Dos}^n$ hay $2^n$ vectores $\mbox{\boldmath$\epsilon$}\in\mbox{\rm Tres}^n$ tales que $\mbox{\boldmath$\epsilon$}\preceq\mbox{\boldmath$\delta$}$.

En efecto, si $J\subset[\![1,n]\!]$ entonces para el vector $\mbox{\boldmath$\epsilon$}_J\in\mbox{\rm Tres}^n$ tal que

$$\forall j\in[\![1,n]\!]:\:\epsilon_j=\left\{\begin{array}{ll}... ...n J \\ \delta_j &\mbox{\rm si }j\not\in J \end{array}\right.$$

se tiene $\mbox{\boldmath$\epsilon$}_J\preceq\mbox{\boldmath$\delta$}$. $\quad\Box$ Diremos que dos vectores $\mbox{\boldmath$\epsilon$}_1,\mbox{\boldmath$\epsilon$}_2\in\mbox{\rm Tres}^n$ son CONGRUENTES ENTRE S´i, y escribiremos $\mbox{\boldmath$\epsilon$}_1\sim\mbox{\boldmath$\epsilon$}_2$, si hay un vector $\mbox{\boldmath$\delta$}\in\mbox{\rm Dos}^n$ que empate con ambos.

Observación 1.4   Para cualesquiera $\mbox{\boldmath$\epsilon$}_1,\mbox{\boldmath$\epsilon$}_2\in\mbox{\rm Tres}^n$, las siguientes aseveraciones son equivalentes a pares:

• $\mbox{\boldmath$\epsilon$}_1\sim\mbox{\boldmath$\epsilon$}_2$.
• $\mbox{\rm Cubo}(\mbox{\boldmath$\epsilon$}_1)\cap \mbox{\rm Cubo}(\mbox{\boldmath$\epsilon$}_2)\not= \emptyset$.
• $\forall j\in [\![1,n]\!]:\: \left[\epsilon_{1,j}\not=\epsilon_{2,j}\;\Rightarrow\;a\in\{\epsilon_{1,j},\epsilon_{2,j}\}\right].$ Es decir, en las coordenadas en las que difieren los vectores, aparece el valor $a$ en alguna de los dos.

Observación 1.5   La relación ``$\sim$'' es reflexiva y es simétrica. No es transitiva.

Posterior: Asignaciones Arriba: Semántica Anterior: Semántica