Posterior: Conjuntos completos de operadores Arriba: Algebras booleanas Anterior: Presentación reticular

Presentación algebraica

Sea $(A,\land,\lor,\overline{\ },\mbox{\bf 1},\mbox{\bf0})$ un álgebra booleana. Definamos una operación suma $\oplus:A^2 \to A$ haciendo $\forall x,y\in A$:

$$x\oplus y = (\overline{x}\land y)\lor (x\land \overline{y})$$ (1)

y un producto $\odot:A^2 \to A$ haciendo $\forall x,y\in A$: $x\odot y = x\land y$. La operación suma se conoce también como DIFERENCIA SIMÉTRICA o como XOR.

Observación 3.2   Las relaciones siguientes se cumplen:

1. $(A,\oplus,\mbox{\bf0})$ es un grupo conmutativo de orden 2: $\forall x\in A$, $x\oplus x=\mbox{\bf0}$.
2. $(A,\odot,\mbox{\bf 1})$ es un monoide conmutativo idempotente: $\forall x\in A$, $x\odot x=x$.
3. $\oplus$ se distribuye respecto a $\odot$.
4. En consecuencia, $(A,\oplus,\odot,\mbox{\bf0},\mbox{\bf 1})$ es un anillo conmutativo, cuya suma es de orden 2 y cuyo producto es idempotente.

Recíprocamente:

Observación 3.3   Si $(A,\oplus,\odot,\mbox{\bf0},\mbox{\bf 1})$ es un anillo conmutativo, cuya suma es de orden 2 y cuyo producto es idempotente, entonces al definir las operaciones siguientes:

$$\begin{eqnarray*} \land &:&(x,y)\mapsto x\land y = x\odot y \\ \lor &:&(x,y)\... ... \overline{\ } &:&x\mapsto \overline{x} = \mbox{\bf 1}\oplus x \end{eqnarray*}$$

resulta que $(A,\land,\lor,\overline{\ },\mbox{\bf 1},\mbox{\bf0})$ es un álgebra booleana.

Así pues, los conjunto de operaciones $\{\land,\lor,\overline{\ }\}$ y $\{\oplus,\odot\}$ expresan uno al otro.