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Mapas y atlas admisibles. Isomorfismos

Definición 1.1   Sea $M$ un espacio topológico.

1. Si $V$ es un espacio abierto de $M$ tal que existe un homeomorfismo de $V$ sobre un abierto $x(V)$ de ${{\mathbb{R}}}^n$, la terna $(V, x, n)$ se dice que es un MAPA DE DIMENSIÓN $n$ de $M$. $V$ se llama el DOMINIO DEL MAPA considerado.
2. Sea $m \in M$. Un mapa $(V, x, n)$ de $M$ se dice que es un MAPA EN EL PUNTO $m$ de $M$ si $m$ pertenece al dominio $V$ de dicho mapa.
3. Sea $(V, x, n)$ un mapa de $M$. $\forall \, p \in V$, escribamos:
   
   $$\fbox{${\displaystyle x(p) = \colon \left( x^1(p), \ldots, x^n(p) \right) \in {{\mathbb R}}^n}$}$$
   
   
   Las funciones $x^1, \ldots ,x^n \colon V \to {\mathbb{R}}$ se llaman las COORDENADAS LOCALES o simplemente las COORDENADAS RELATIVAS AL MAPA $(V, x, n)$. Nuestra notación será: $x= (x^1, \ldots,x^n)$.
4. Una familia $\left( V_\alpha, x_\alpha, n_\alpha\right)_{\alpha \in I}$ de mapas de $M$ (si existe) se dice que es un ATLAS de $M$ si $\left( V_\alpha \right)_{\alpha \in I}$ es un recubrimiento de $M$, es decir $V = \bigcup_{\alpha \in I} V_\alpha$.
5. Un espacio topológico $M$ se dice que es una VARIEDAD TOPOLÓGICA, si posee un atlas. Equivalentemente: $\forall m \in M$ existe un mapa de $M$ en el punto $m$.

La palabra ``mapa'' se traduce al francés por carte, al alemán por karte, al inglés por chart. Lo mencionamos para evitar toda confusión con la voz inglesa mapping que significa ``aplicación''.

Teorema 1.1   Toda variedad topológica es un espacio localmente conexo.

Demostración
Sean $M$ una variedad topológica y $m$ un punto arbitrario de $M$. Debemos probar que toda vecindad de $m$ contiene una vecindad conexa de $m$.

Sea, pues, $U$ una vecindad arbitraria del punto $m$ en $M$. Por hipótesis, existe un mapa $(V, x, n)$ de $M$ en el punto $m$. $V \cap U$ es también una vecindad de $m$. Basta mostrar que $V \cap U$ contiene una vecindad conexa de $m$. Ahora bien $x(V \cap U)$ es una vecindad del punto $x(m) \in {{\mathbb{R}}}^n$ contenida en el abierto $x(V)$ de ${{\mathbb{R}}}^n$. Dicha vecindad $x(V \cap U)$ contiene una bola abierta $B$ (para una norma arbitrariamente fijada sobre ${{\mathbb{R}}}^n$) de centro $x(m)$. Luego $V \cap U$ contiene $x^{-1}(B)$ una vecindad conexa de $m$ en $M$. $\quad\Box$

Teorema 1.2   Toda variedad topológica separada es un espacio localmente compacto.

Demostración
Sea $M$ una variedad topológica separada y $m$ un punto arbitrario de $M$.

Debemos probar que $m$ posee una vecindad compacta.

Sea $(V, x, n)$ un mapa de $M$ en el punto $m$.

El abierto $x(V)$ de ${{\mathbb{R}}}^n$ es una vecindad del punto $x(m) \in {{\mathbb{R}}}^n$. $x(V)$ contiene, pues, una bola cerrada $B^\prime$ (para una norma arbitraria en ${{\mathbb{R}}}^n$) de radio positivo, de centro $x(m)$. El conjunto $x^{-1}(B^\prime)$ es una vecindad de $m$ con respecto a $V$, luego, por ser $V$ abierto, también con respecto a $M$. Dicha vecindad $x^{-1}(B^\prime)$ es compacta. $\quad\Box$

Nota
Citemos sin prueba el siguiente teorema del que se puede decir que pertenece a la ``cultura general'' matemática. Se demuestra generalmente por métodos de topología algebraica y se debe al matemático holandés LIUTZEN E. J. BROUWER.

Teorema 1.3 (de la INVARIANCIA DEL RECINTO)   Sean $U$ un abierto de ${{\mathbb{R}}}^n$ y $f$ una aplicación continua e inyectiva de $U$ en ${{\mathbb{R}}}^n$. En estas circunstancias el conjunto $f(U)$ es también un abierto en ${{\mathbb{R}}}^n$ y $f$ es un homeomorfismo abierto $U$ sobre el abierto $f(U)$.

Una consecuencia importante de este resultado es el siguiente:

Teorema 1.4 (de la INVARIANCIA DE LA DIMENSIÓN)   Sea $U$ un abierto no vacío de ${{\mathbb{R}}}^n$. Si existe un homeomorfismo $f$ de $U$ sobre un conjunto abierto $V$ de ${{\mathbb{R}}}^m$, vale necesariamente:

$$\fbox{${\displaystyle n=m}$}$$

Demostración
Por simetría cabe suponer $m \le n$. Adoptando esta hipótesis podemos escribir:

$${{\mathbb{R}}}^n = {{\mathbb{R}}}^m \times {{\mathbb{R}}}^{n-m}$$

Identificamos ${{\mathbb{R}}}^m$ con el subespacio ${{\mathbb{R}}}^m \times \{ 0 \}$ de ${{\mathbb{R}}}^n$. De conformidad con ello, consideramos $f$ como una aplicación continua e inyectiva del abierto $U$ de ${{\mathbb{R}}}^n$ en ${{\mathbb{R}}}^n$. Por el teorema de la invariancia del recinto $f(U)$ es también un abierto no vacío de ${{\mathbb{R}}}^n$. Por lo tanto no puede estar contenido en un subespacio propio de ${{\mathbb{R}}}^n$. Así pues, necesariamente $m=n$. $\quad\Box$

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