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Sea
. Sea
tal que
. Escribimos
,
. Vale en virtud de (2):
O sea:
![\begin{displaymath}\mbox{\fbox{${\displaystyle (\stackrel{r}{\wedge} S )({\overline e}_{K})= {\overline f}_{K}}$}}
\end{displaymath}](img1907.png) |
(7) |
Por otra parte, por el teorema 1.4.19, la matriz del automorfismo
del espacio vectorial
con respecto a cualquiera de las bases
,
de este espacio es
, la matriz de los menores de orden
de la matriz
. Tenemos pues:
![\begin{displaymath}
(\stackrel{r}{\wedge} S) ({\overline e}_{K}) = \sum\limits_{\vert H\vert=r} S_K^H {\overline e}_{H}
\end{displaymath}](img1911.png) |
(8) |
y
![\begin{displaymath}
(\stackrel{r}{\wedge} S) ({\overline f}_{K}) = \sum\limits_{\vert H\vert=r} S_K^H {\overline f}_{H}
\end{displaymath}](img1912.png) |
(9) |
Al comparar (7) con (8) obtenemos:
![\begin{displaymath}\mbox{\fbox{${\displaystyle \displaystyle {\overline f}_{K}= ...
...K^H {\overline e}_{H} \quad \mbox{si} \quad \vert K\vert=r}$}}
\end{displaymath}](img1913.png) |
(10) |
fórmula que generaliza (1).
También por los teoremas 2.2.6 y 2.3.3 la fórmula (9) equivale a:
![\begin{displaymath}
(\stackrel{r}{\wedge} S^*) ({\underline f}^{H}) =\sum\limits...
... S_K^H {\underline f}^{K} \quad \mbox{si} \quad \vert H\vert=r
\end{displaymath}](img1914.png) |
(11) |
Por otra parte, usando (7):
y esto dice que:
![\begin{displaymath}\mbox{\fbox{${\displaystyle {\underline e}^{H} = \stackrel{r}{\wedge} S^* ({\underline f}^{H})}$}}
\end{displaymath}](img1916.png) |
(12) |
fórmula que generaliza (5).
Finalmente, comparando (11) con (12) llegamos a:
![\begin{displaymath}\mbox{\fbox{${\displaystyle {\displaystyle {\underline e}^{H} = \sum\limits_{\vert K\vert=r} S_{K}^H {\underline f}^{K}}}$}}
\end{displaymath}](img1917.png) |
(13) |
fórmula que generaliza (7).
Como en la subsección 2.5.1, cabe señalar un ``doble fenómeno de inversión'' al pasar de las fórmulas (10) a las fórmulas (13).
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Guillermo M. Luna
2009-06-14