Siguiente: Dos casos particulares Arriba: Variedades diferenciables Anterior: Diferenciabilidad de funciones reales

Aplicaciones de clase $C^j$

Definición 3.1   Sean $M$, $N$ variedades $C^k$ y $j \in [\![ 1, k ]\!]$ (si $k = \infty$, se puede tomar $j \in {{\mathbb{N}}} \cup \{ \infty \}$ arbitrario).

Una aplicación $\varphi \colon M \to N$ se dice de CLASE (en $M$) si para todo $m \in M$ existen mapas admisibles $(U,x)$ de M en m, $(V, y)$ de N en $\varphi(m)$ tales que $\varphi (U) \subset V$ y la aplicación $y \circ \varphi \circ x^{-1} \colon x(U) \to y(V)$ es de clase $C^j$ (C.D.) en $x(U)$.

Esta definición es manejable merced al:

Teorema 3.1   Sean $M$, $N$ variedades $C^k$, $j \in [\![ 1, k ]\!]$ y $\varphi \colon M \to N$ una aplicación de clase $C^j$. Para todo par de mapas admisibles $(U^\prime , x^\prime)$ de $M$, $(V^\prime, y^\prime)$ de $N$ tales que $\varphi( U^\prime) \subset V^\prime$ la aplicación:

$$y^\prime \circ \varphi \circ x^{\prime \, -1} \colon x^\prime (U^\prime) \to y^\prime (V^\prime)$$

es de clase $C^j$ (C.D.) en $x^\prime (U^\prime)$.

Demostración
La demostración es análoga a la del teorema 5.2.3.

Sean $(U^\prime , x^\prime)$, $(V^\prime, y^\prime)$ mapas admisibles de sendas variedades $M$, $N$ tales que $\varphi( U^\prime) \subset V^\prime$. Debido al carácter local de aplicaciones de clase $C^j$ (teorema 4.5.6), basta probar que todo punto de $x^\prime (U^\prime)$ posee una vecindad abierta contenida en $x^\prime (U^\prime)$ tal que la restricción de $y^\prime \circ \varphi \circ x^{\prime \, -1}$ a dicha vecindad abierta es de clase $C^j$. Aprovechando el hecho de que $x^\prime$ es un homeomorfismo de $U^\prime$ sobre $x^\prime (U^\prime)$, podemos formular esta condición así:

$$\left. \mbox{\begin{minipage}{28em} Para todo $m \in U^\pri... ...rime (G)$\ es de clase $C^j$\ (C.D.). \end{minipage}} \right\}$$ (1)

Sea, pues, $m$ un punto arbitrario de $U^\prime$. Sean $(U,x),\, (V,y)$ mapas admisibles de sendas variedades $M$, $N$ en sendos puntos $m$, $\varphi(m)$ como en la definición 5.2.2. Por hipótesis $\varphi (U) \subset V$ y la aplicación:

$${\tilde \varphi} = \colon y \circ \varphi \circ x^{-1} \colon x(U) \to y(V)$$

es de clase $C^j$ (C.D.) en $x(U)$. Restringiendo $x, \, x^\prime,\, \varphi$ a $U \cap U^\prime$ y $\tilde \varphi$ a $x(U \cap U^\prime)$ podemos escribir:

$$y^\prime \circ \varphi \circ x^{\prime \, -1} = (y^\prime \c... ...{-1}) \circ {\tilde \varphi} \circ (x \circ x^{\prime \, -1})$$ (2)

El cambio de mapa $x \circ x^{\prime\, -1}$ es un isomorfismo $C^k$ de $x^\prime (U \cap U^\prime)$ sobre $x(U \cap U^\prime)$. Por ser $j \le k$, $x \circ x^{\prime\, -1}$ es a fortiori de clase $C^j$ (C.D.) en $x^\prime (U \cap U^\prime)$. $y \circ \varphi \circ x^{-1}$ restringido a $x(U \cap U^\prime)$ es de clase $C^j$ en $x(U \cap U^\prime)$ por el teorema 4.5.6 y manda $x(U \cap U^\prime)$ en $y(V \cap V^\prime)$. Finalmente, el cambio de mapa $y^\prime \circ y^{-1}$ es un isomorfismo $C^k$ de $y(V \cap V^\prime)$ sobre $y^\prime (V \cap V^\prime)$, luego es a fortiori de clase $C^j$ (C.D.) en $y(V \cap V^\prime)$.

En virtud del teorema 4.5.5, la fórmula (2) implica que $y^\prime \circ \varphi \circ x^{\prime \, -1}$ es de clase $C^j$ en $x^\prime (U \cap U^\prime)$. Esto prueba la afirmación (1) con $G = \colon U \cap U^\prime$ y termina la demostración del teorema. $\quad\Box$

Nota
La demostración precedente hace bien clara la necesidad de la restricción $j \in [\![ 1, k ]\!]$, la cual se elimina solamente en el caso $k = \infty$. En este caso se puede tomar también $j = \infty$.

Observación (Permanencia de la definición)

Sean $U$ un abierto de ${{\mathbb{R}}}^n$ y $V$ un abierto de ${{\mathbb{R}}}^m$. $U$ provisto del atlas admisible reducido al mapa $(U, {\cal I}_U)$ y $V$ provisto del atlas admisible reducido al mapa $(V, {\cal I}_V)$ son variedades $C^\infty$. Sea $j \in {\mathbb{N}}$ arbitrario y sea $\varphi$ una aplicación $U \to V$. $\varphi$ leída en los mapas considerados es la propia $\varphi$. Así pues,:

La aplicación $\varphi \colon U \to V$ es de clase $C^j$ según la definición 5.2.2 si y sólo si es de clase $C^j$ (C.D.)

Teorema 3.2  

1. Sea $M$ una variedad $C^k$. La aplicación idéntica ${\cal I}_M$ es de clase $C^k$.
2. Sean $M$, $N$, $P$ variedades $C^k$ y $j \in [\![ 1, k ]\!]$. Si $\varphi \colon M \to N$ y $\psi \colon N \to P$ son aplicaciones de clase $C^j$, también $\psi \circ \varphi \colon M \to P$ es una aplicación de clase $C^j$.

Demostración

1. Sean $M$ una variedad $C^k$ y $(U,x)$ un mapa admisible arbitrario de $M$. La identidad ${\cal I}_M$ leída en este mapa es la identidad ${\cal I}_U$. Por el teorema 4.5.5 ${\cal I}_U$ es de clase $C^\infty$, a fortiori $C^k$ en $U$. Luego ${\cal I}_M$ es de clase $C^k$.
2. Sean $M,\ N,\ P$ variedades $C^k$, $j \in [\![ 1, k ]\!]$, $\varphi \colon M \to N$, $\psi \colon N \to P$ aplicaciones de clase $C^j$.

   Sean $(U,x),\ (V,y),\ (W,z)$ mapas admisibles de sendas variedades $M,\ N,\ P$ tales que $\varphi (U) \subset V$, $\psi (V) \subset W$.

   Por el teorema 5.3.1 las aplicaciones $y \circ \varphi \circ x^{-1} \colon x(U) \to y(V)$ y $z \circ \psi \circ y^{-1} \colon y(V) \to z(W)$ son de clase $C^j$ (C.D.).

   Por el teorema 4.5.5 la aplicación
   

   $$z \circ (\psi \circ \varphi \circ x^{-1}) = (z \circ \psi \ci... ...-1} ) \circ (y \circ \varphi \circ x^{-1}) \colon x(U) \to z(W)$$
   
   
   es también de clase $C^j$ (C.D.).

   Así pues, la aplicación $\psi \circ \varphi \colon M \to P$ es de clase $C^j$. $\quad\Box$

Siguiente: Dos casos particulares Arriba: Variedades diferenciables Anterior: Diferenciabilidad de funciones reales